题目

已知f（x）=x³-3x，过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（　　）
A. （-1，1）
B. （-2，3）
C. （-1，2）
D. （-3，-2）

提问时间：2021-12-08

答案

解；设切点坐标（x0，x03-3x），∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3∴曲线y=f（x）在（x0，x03-3x）处的切线斜率为3x02-3又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为x03−3x −mx0−1，∴x03−3x −mx0−1=3x02-3...

先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数判断方程根的个数．