题目
已知三角形ABC,AD垂直于BC,M,N分别为三角形ABD三角形ACD三个内角角平分线的交点,连接MN并延长至AB,AC交AB
AC于E,F,求证AE=AF
AC于E,F,求证AE=AF
提问时间:2021-12-08
答案
以D点为平面直角坐标系坐标原点,﹙即AD所在直线为Y轴,BC所在直线为X轴﹚,
分别设A、B、C的坐标为:A﹙0,a﹚、B﹙-b,0﹚、C﹙c,0﹚,
则由两点坐标可求AC、AB直线方程为:
AC:①y=﹙-a/c﹚x+a,
AB:② y=﹙a/b﹚x+a,
∵M、N分别是△ABD、△ACD内角平分线的交点,∴M点到BD、AD的距离相等,
∴可设M点坐标为M﹙-R,R﹚,同理可设N点坐标为N﹙r,r﹚,
∴MN直线方程为:③y=[﹙r-R﹚/﹙R+r﹚]x+2Rr/﹙R+r﹚,
则直线MN与AC、AB的交点坐标可求,
由①③解得F 点坐标:
横坐标为:c﹙aR+ar-2Rr﹚/﹙cr-cR+aR+ar﹚,
纵坐标为:a﹙2Rr+cr-cR﹚/﹙cr-cR+aR+ar﹚,
同理由②③解得E点坐标:
横坐标为:b﹙2Rr-aR-ar﹚/﹙aR+ar-br+bR﹚,
纵坐标为:a﹙2Rr-br+bR﹚/﹙aR+ar-br+bR﹚,
∴由两点距离公式代入化简得
AE²=AF²,
∴AE=AF.
分别设A、B、C的坐标为:A﹙0,a﹚、B﹙-b,0﹚、C﹙c,0﹚,
则由两点坐标可求AC、AB直线方程为:
AC:①y=﹙-a/c﹚x+a,
AB:② y=﹙a/b﹚x+a,
∵M、N分别是△ABD、△ACD内角平分线的交点,∴M点到BD、AD的距离相等,
∴可设M点坐标为M﹙-R,R﹚,同理可设N点坐标为N﹙r,r﹚,
∴MN直线方程为:③y=[﹙r-R﹚/﹙R+r﹚]x+2Rr/﹙R+r﹚,
则直线MN与AC、AB的交点坐标可求,
由①③解得F 点坐标:
横坐标为:c﹙aR+ar-2Rr﹚/﹙cr-cR+aR+ar﹚,
纵坐标为:a﹙2Rr+cr-cR﹚/﹙cr-cR+aR+ar﹚,
同理由②③解得E点坐标:
横坐标为:b﹙2Rr-aR-ar﹚/﹙aR+ar-br+bR﹚,
纵坐标为:a﹙2Rr-br+bR﹚/﹙aR+ar-br+bR﹚,
∴由两点距离公式代入化简得
AE²=AF²,
∴AE=AF.
举一反三
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