题目

已知函数f（x）=x²-1与函数g（x）=alnx（a≠0）．
（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-2g（x），求函数F（x）的极值．

提问时间：2021-12-08

答案

（I）因为f（1）=0，g（1）=0，
所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图象上（1分）
因为f（x）=x²-1，g（x）=alnx，f'（x）=2x，（3分）g′(x)=

a

x

（5分）
由已知，得f'（1）=g'（1），所以2=

a

1

，即a=2（6分）
（II）因为F（x）=f（x）-2g（x）=x²-1-2alnx（x＞0）（7分）
所以F′(x)=2x-

2a

x

=

2(x2-a)

x

（8分）
当a＜0时，因为x＞0，且x²-a＞0，所以F'（x）＞0对x＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（x）无极值（10分）
当a＞0时，令F'（x）=0，解得x1=

a

，x2=-

a

（舍）（11分）
所以当x＞0时，F'（x），F（x）的变化情况如下表：
（13分）
所以当x=

a

时，F（x）取得极小值，且F(

a

)=(

a

)2-1-2aln

a

=a-1-alna．（14分）
综上，当a＜0时，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数F（x）在x=

a

处取得极小值a-1-alna．

（I）先判定点（1，0）与函数f（x），g（x）的图象的位置关系，然后分别求出在x=1处的导数，根据函数f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，建立等量关系，求出a的值；
（II）先求出F（x）的解析式和定义域，然后在定义域内研究F（x）的导函数，讨论a的正负，分别判定F'（x）=0的值附近的导数符号，确定极值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，公切线等有关基础知识，考查空运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论的思想，属于中档题．