题目
已知:偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论.
提问时间:2021-12-07
答案
因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;
且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
故f(x)在(-∞,0)是减函数.
证明如下:若-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞.
由于偶函数在(0,+∞)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1)
又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
综上可得:f(x1)>f(x2)
故f(x)在(-∞,0)上是减函数
且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
故f(x)在(-∞,0)是减函数.
证明如下:若-∞<x1<x2<0,那么0<-x2<-x1<+∞.
由于偶函数在(0,+∞)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1)
又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
综上可得:f(x1)>f(x2)
故f(x)在(-∞,0)上是减函数
直接利用偶函数的性质:在关于原点对称的区间上单调性相反即可得出其在(-∞,0)上的单调性;再利用函数单调性的定义证明结论即可.
奇偶性与单调性的综合.
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合问题.这一类型题目,主要是考查偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同这一结论.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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