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题目
已知,正方形ABCD的边长为1,直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,l1、l2与正方形ABCD的边总有交点.

(1)如图1,当l1⊥AC于点A,l2⊥AC交边DC、BC分别于E、F时,求△EFC的周长;
(2)把图1中的l1与l2同时向右平移x,得到图2,问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化,若不变,求出△EFC与△AMN的周长的和;若变化,请说明理由;
(3)把图2中的正方形饶点A逆时针旋转α,得到图3,问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化?若不变,求出△EFC与△AMN的周长的和;若变化,请说明理由.

提问时间:2021-12-04

答案
(1)如图1,∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=
2

又∵直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1.
∴CG=
2
-1.
∴EF=2
2
-2,EC=CF=2-
2

∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2;
(2)△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.
如图2,把l1、l2向左平移相同的距离,
使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3
过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,G.
可证△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ.
∴AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ.
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长,由已知可计算△CPQ的周长为2,
∴△EFC与△AMN的周长的和为2;
(3)△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化.
如图3,把l1、l2平移相同的距离,使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3
过E、F分别做l3的垂线,垂足为R,S.过A作l1的垂线,垂足为H.
可证△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP,
∴AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.
如图4,过A作l3的垂线,垂足为T.连接AP、AQ.
可证△APT≌△APD,△AQT≌△AQB,
∴DP=PT,BQ=TQ.
∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2.
∴△EFC与△AMN的周长的和为2.
(1)分别计算EF、EC、CF的长度,计算△EFC的周长即EF+EC+CF即可;
(2)证明△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ得AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ,可得△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化.
(3)△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP可得AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=RP.可以求得△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长.

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