题目

一个圆,用8条直线分割,最多分几部分,最少分几部分,每条直线与圆周都有2个焦点.

提问时间：2021-11-26

答案

这个问题首先可以归纳为：n条直线可将平面最多分成几部分
用数学归纳法可以做出来
因为n=1时,f(1)=2,n=2时,f(2)=4,
n=3时,f(3)=7,于是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2
下面证明猜想正确即可
证明:①:n=1时已经证明了其正确性
②:假设n=k时也成立,则f(k)=(k^2+k+2)/2
当n=k+1时,由于多了一条线,就可以多分割出
k+1个面,所以f(k+1)=f(k)+k+1=
(k^2+k+1)/2+(k+1)=[(k+1)^2+(k+1)+2]/2
所以当n=k+1时也成立,由①②得,对于任意n值
都有f(n)=n(n+1)/2+1
当n=8时,f(n)=37
所以,用8条直线分割一个圆,最多可以分37个部分
而一个圆,用8条直线分割最少分几个部分的问题,可以归纳为：n条直线可将平面最少分成几部分
对一个平面,这很简单,只要直线平行即不交叉,这是最少切分的情况,当然就是n+1
对于一个圆,这个情况就更多,例如互不交叉的切分,或者只通过圆上一点的分割,但结果都是n+1
所以,用8条直线分割一个圆,最少可以分n+1=9个部分