题目
求证锐角三角形垂心,重心,外心三点共线
提问时间:2021-11-25
答案
垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线.
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
欧拉线的证明:
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
欧拉线的证明:
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= DC
∴ OM= AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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