题目

如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM，求证：

（1）BP=CE；
（2）试证明：EM-PM=AM．

提问时间：2021-11-24

答案

证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，
∵

AE＝AP ∠EAC＝∠PAB AC＝AB

，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；
（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEM=∠APB．
在EM上截取EN=PM，连接AN．
在AEN与△APM中，
∵

AE＝AP ∠AEM＝∠APB EN＝PM

∴△AEN≌△APM（SAS），
∴AN=AM；∠EAN=∠PAM．
则∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°，即△ANM为等边三角形，得：MN=AM．
所以EM-PM=EM-EN=MN=AM．

（1）根据等边三角形的性质，通过证明△EAC≌△PAB（SAS），即可得出BP=CE；
（2）通过证明△AEN≌△APM（SAS），根据全等三角形的性质，等边三角形的性质即可得出EM-PM=EM-EN=MN=AM．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是正确的作出辅助线．