题目

急,明天要交(关于函数周期)
已知F(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立
1.证明：f(x)是周期函数
2.已知f(3)=2,求f(2004)
已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
1.求证：f(x)是奇函数
2.如果 x属于R+,f(x)<0,并且f(1)=-1/2,试求f(x)在去间[-2,6]上的最值

提问时间：2021-11-22

答案

1.将x换成x+1,f(x+1)=f(x+2)+f(x)
再有f(x)=f(x+1)+f(x-1)两式相减得到f(x+2)=-f(x-1)
将x换成x-3,则上式变成f(x-1)=-f(x-3-1)=-f(x-4)
联立以上两个式子得到f(x+2)=f(x-4)
将x换成x+4则f(x)=f(x+6)
故f（x)是周期函数,周期是6
2.2004能被周期6整除,故f（2004）=f（0）
由于f(x-1)=-f(x-3-1)=-f(x-4)即f(x)=-f(x-3)
因此f（0）=-f（3）=-2
1.证明：令y=0,则f(x)=f(x)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,
则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
2.令x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)