题目

如图，已知矩形ABCD，AB=

3

，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有什么数量关系？并证明你猜想的结论．

提问时间：2021-11-17

答案

（1）过P作PQ⊥BC于Q．∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，∴PQ=AB=3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°．在Rt△PQF中，PF=2，∴△PEF的边长为2；（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=3，tan∠1＝ABBC＝33，∴∠1=...

（1）要求△PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的边长；
（2）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度数，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化简即可．

本题考点：矩形的性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题利用了矩形、平行线、等边、等腰三角形的性质，还有正切函数等知识，运用的综合知识很多．