题目

重分下必有智者,来吧,
设函数f(x)＝x^2＋2x－2ln(1＋x)
(1)求函数的单调区间
(2)当x属于[1／e －1,e－1]时,是否存在整数m,使不等式m＜f(x)≤－m^2＋2m＋e^2恒成立?若存在,求整数m的值,若不存在,说明理由
(3)关于x的方程f(x)＝x^2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围

提问时间：2021-11-05

答案

设函数f(x)＝x^2＋2x－2ln(1＋x)
(1)求函数的单调区间
(2)当x属于[1／e －1,e－1]时,是否存在整数m,使不等式m＜f(x)≤－m^2＋2m＋e^2恒成立?若存在,求整数m的值,若不存在,说明理由
(3)关于x的方程f(x)＝x^2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=x^2+2x-2ln(1＋x),其定义域为x>-1
令f’(x)=2x+2-2/(1+x)=0==>x1=0,x2=-2(舍)
f’’(x)=2+2/(1+x)^2==>f’’(0)=4>0
∴函数f(x)在x=0处取极小值
∴当x∈(-1,0]时,函数f(x)单调减；当x∈(0,+ ∞)时,函数f(x)单调增；
(2)解析：令x∈[1/e-1,e-1]
设存在整数m,使不等式m