题目

△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA=bcosB，则

a+b

c

的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-11-04

答案

∵△ABC中，acosA=bcosB，
∴根据正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．
又∵A、B∈（0，π），且A≠B，
∴2A+2B=π，得A+B=

π

2

，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
因此，

a+b

c

=

a+b

a2+b2

=

(a+b)2 a2+b2

=

1+ 2ab a2+b2

，
∵a、b是不相等的正数，可得a²+b²>2ab>0，
得

2ab

a2+b2

∈（0，1），
∴

a+b

c

=

1+ 2ab a2+b2

的取值范围为(1，

2

)
故答案为：(1，

2

)

根据acosA=bcosB，利用正弦定理与二倍角的公式化简得sin2A=sin2B，结合A≠B算出A+B=

π

2

，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．再根据勾股定理与基本不等式加以计算，可得

a+b

c

的取值范围．

本题考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题已知三角形满足的边角关系式，求

a+b

c

的取值范围．着重考查了正弦定理、二倍角的正弦公式与基本不等式等知识，属于中档题．