题目

在四棱锥s-abcd中,已知角dab=角abc=90,sa垂直abcd,sa=ab=bc=a,ad=2a,求直线sd与ac所成角大小
（abcd是直角梯形)
thankyousomuch!

提问时间：2021-11-02

答案

取cd中点f,ac中点o,sc中点m,ad中点e
连接mo,mf,me,ef,eo
因为m,f分别为sc和cd的中点
所以mf//sd同理ef//ac,mo//sa
所以sd与ac所成角为角mfe(或者其余角)
又因为sa垂直abcd,sa//mo
所以mo垂直abcd
又因为oe属于面abcd
所以mo垂直oe
在三角形sac中mo=sa/2=a/2
oe=cd/2
连接ce
因为角dab=角abc=90,abcd是直角梯形,ad=2bc
所以abce是正方形
所以ce垂直ad
在三角形ced中cd=2^1/2 *a(注明：根号2a)
所以oe=2分之根号2a
在直角三角形moe中me=2分之根号3a
在三角形mfe中mf=2分之根号5a,ef=2分之2a
由余弦定理得余弦mfe=3分之根号6
所以角mfe=arc[cos(3分之根号6)]
即sd与ac成的角为arc[cos(3分之根号6)]