题目

已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

提问时间：2021-10-28

答案

（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：

-42+4b+c=0 -12+b+c=3

，
解之得：b=4，c=0；
所以抛物线的表达式为：y=-x²+4x，
将抛物线的表达式配方得：y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
所以对称轴直线为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；
（2）点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），
则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），
则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
所以四边形OAPF是平行四边形；
S=OA•|n|=20，即|n|=5；
因为点P为第四象限的点，
所以n＜0，
所以n=-5；
代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；将所求得的二次函数解析式化为顶点式，即可得到其对称轴方程及顶点坐标；
（2）首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再代入抛物线的解析式中即可求出m的值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及图形面积的求法，难度适中．