题目

已知，如图△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想：DF与AE的关系是______；
（2）试说明你猜想的正确性．

提问时间：2020-12-19

答案

（1）DF与AE互相平分；
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵EF∥AB，DF∥BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴EF=BD=AD，
∵EF∥AB，
∴EF∥AD，
∵EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AFED是平行四边形，
∴DF、AE是平行四边形AFED的对角线，
∴DF、AE互相平分；
（2）∵EF∥AB，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴EF=AD，
∵EF∥AB，
∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，
在△ADO和△EFO中，
∵

∠ADO＝∠EFO EF＝AD ∠DAO＝∠FEO

，
∴△ADO≌△EFO，
∴OD=OF，OA=OE，
即AE与DF互相平分；
或连接AF、DE．

（1）DF与AE互相平分．
（2）由已知可得四边形BDFE是平行四边形，从而可得BD=EF，由中点的定义可得AD=BD，再根据平行线的性质即可得到∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，从而可利用ASA判定△ADO≌△EFO，根据全等三角形的对应边相等即可得到OD=OF，OA=OE，即得到AE与DF互相平分，或连接AF、DE，然后证明四边形DEFA是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分证明．

本题考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查平行四边形的判定及性质和全等三角形的判定及性质的综合运用．