题目

已知三角形ABC,A为钝角.角A的平分线交BC边为D,由B向AD作垂线,交点为M.取BC中点O,AO交BM于P点.求证：AB与PD平行.

提问时间：2021-10-18

答案

用直角坐标系的方式求解
令A(0,0) B(b,0) C(-a,c) 其中a、b、c均为正数
因为点O是BC中点,所以O((b-a)/2,c/2)
直线AO方程为：y=(c/2)/[(b-a)/2]*x=c/(b-a)*x
因为AD是∠BAC的角平分线
所以∠BAD=1/2*∠BAC
直线AC的斜率=tan∠BAC=c/(-a)
tan2∠BAD=-c/a
设tan∠BAD=x,因为∠BAC是钝角,所以∠BAD是锐角,tan∠BAD=x>0
2x/(1-x^2)=-c/a
cx^2-2ax-c=0
△=4a^2+4c^2
x=[a+√(a^2+c^2)]/c （负根舍去）
所以直线AD方程为：y=[a+√(a^2+c^2)]/c*x
直线BC方程为：y=c/(-a-b)*(x-b)
现在求直线AD与直线BC交点D的纵坐标
y=c/(a+b)*(b-cy/[a+√(a^2+c^2)])=bc/(a+b)-c^2/(a+b)[a+√(a^2+c^2)]*y
y=bc/(a+b){1+c^2/(a+b)[a+√(a^2+c^2)]}=bc/{a+b+c^2/[a+√(a^2+c^2)]}=bc/[b+√(a^2+c^2)]
所以点D的纵坐标为bc/[b+√(a^2+c^2)]
因为BM⊥AD,所以直线BM的斜率*直线AD的斜率=-1
所以直线BM的斜率=-c/[a+√(a^2+c^2)]
直线BM方程为：y=-c/[a+√(a^2+c^2)]*(x-b)
现在求直线AO与直线BM交点P的纵坐标
y=-c/[a+√(a^2+c^2)]*[(b-a)/c*y-b]=bc/[a+√(a^2+c^2)]-(b-a)/[a+√(a^2+c^2)]*y
y=bc/[a+√(a^2+c^2)]{1+(b-a)/[a+√(a^2+c^2)]}=bc/[b+√(a^2+c^2)]
所以点P的纵坐标也为bc/[b+√(a^2+c^2)]
因为点D和点P的纵坐标相等
所以直线DP与x轴平行
因为直线AB与x轴重合
即DP//AB