题目

已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD、BE的交点．

（1）求证：BH=AC；
（2）若∠A改成钝角后，结论BH=AC还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由．

提问时间：2021-10-15

答案

（1）证明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在△BDH和△ADC中

∠EBC=∠DAC BD=AD ∠BDH=∠ADC

∴△BDH≌△ADC（ASA）．
∴BH=AC．
（2）如图，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在△BDH和△ADC中

∠H=∠C ∠HDB=∠CDA BD=AD

∴△BDH≌△ADC（AAS）．
∴BH=AC．

（1）可通过全等三角形来证BH=AC，那么关键是证三角形ADC和BDH全等．已知的条件有一组直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再证得一组对应边相等即可得出结论．我们发现∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了，即可得出BH=AC的结论．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．