题目

将直线L绕点C顺时针旋转使L与底边AB交与点D探究直线L在如下位置时EF、AE、BF之间的关系①AD＞BD；②AD=BD；

提问时间：2021-10-14

答案

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线L经过顶点C,过A、B两点分别作L的垂线AE、BF,E、F为垂足.
（1）当直线L不与底边AB相交时,求证：EF=AE+BF.
（2）将直线L绕点C顺时针旋转,使L与底边AB交与点D,请你探究直线L在如下位置时,EF、AE、BF之间的关系（直接写出结论）①AD＞BD；②AD=BD；③AD＜BD.
证明：
(1）∵ ∠ACB=90
∴∠BCF+∠ACE=90°
∵在△ACE中,∠ACE+∠CAE=90°
∴∠BCF=∠CAE
同理∠BFC=∠ECA
∵ AC=BC
∴ △ACE≌△CBF
∴ CE=BF AE=CF
∴EF=AE+BF
2）
同理
选②
分析：根据已知条件容易证明△BFA≌△AEC,然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BFA≌△AEC仍然成立,则BF=AE,AF=CE,就可以求出EF=BF-CE．（1）证明：∵BF⊥FA,CE⊥AE,
∴∠BAC=∠BFA=∠CEF=90°,
∴∠FAB+∠CAE=90°,∠FBA+∠FAB=90°,
∴∠CAE=∠FBA,
在△ABF和△ABE中,
∠BFA=∠AEC=90°,∠FBA=∠CAE,AB=AC,
∴△BFA≌△AEC．
∴FA=EC,BF=AE．
∴FE=FA+AE=BF+CE．
（2）结论：EF=BF-CE,
理由是：∵BF⊥FA,CE⊥AE,
∴∠BAC=∠BFA=∠CEF=90°,
∴∠FAB+∠CAE=90°,∠ABF+∠FAB=90°,
∴∠CAE=∠ABF,
在△ABF和△ABE中,
∠BFA=∠AEC=90°,∠FBA=∠CAE,AB=AC,
∴△BFA≌△AEC．
∴FA=EC,BF=AC．
∵EF=AE-AF,
∴EF=BF-CE．