题目

已知一椭圆（标准方程,手机不好编辑）交x正半轴于A点,椭圆上总有一点P使得AP垂直OP（向量）,求椭圆的离心率范围.求详解.

提问时间：2021-10-14

答案

我不动解析几何4年了,随便解解,错了不要怪我.
设P点坐标（acos(t),bsin(t)）满足椭圆标准方程,t为角度变量.条件垂直转化为斜率方程
Kop*Kap=-1；
所以(bsin(t)/acos(t))*(bsin(t)/(acos(t)-a))=-1
上式移项:(2表示平方)
b2*sin2(t)+a2*cos2(t)-a2*cos(t) = 0,也就是
(a2-b2)*cos2(t)-a2*cos(t)+b2=0,
将cos（t）当作变量z,上式转化为一元二次方程
(a2-b2)*z-a2*z+b2=0
判别式可配方恒非负.
求得z的解为
z=1
或z=b2/(a2-b2).z>0,这说明P在y轴右侧,
偏心角t的余弦值绝对值小于等于1,所以z