题目

有关证明 (n-1)!是n的倍数
我可不可以说 (n-1)!是n!的倍数 是n的倍数 所以(n-1)!是n的倍数
-.- 条件还有n是个合数，n不等于4..合数好像这在"我想证明的想法"中没出现。对于说不行的我采取不反驳+感谢态度····

提问时间：2021-10-14

答案

因为n为合数
设p是n除1外的最小约数,则p为素数
若n/p=p,即n=p^2,难么n>=9,p>=3
(n-1)/p=(p^2-1)/p=(p-1)(p+1)/p>p-1>=2
即p,2p在1,2,..,n-1中
那么(n-1)!是2p^2=2n的倍数,所以(n-1)!是2p^2=n的倍数
若n/p>p,设q=n/p
因为n>p,n>q
所以n-1>=p,n-1>=q
所以p,q在1,2,..,n-1中
那么(n-1)!是pq=n的倍数