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题目
已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式
1
x
+
4
y
≥m
恒成立的实数m的取值范围是(  )
A. [
9
4
,+∞)

B. [2,+∞)
C. (-∞,2]
D. (-∞,
9
4
]

提问时间:2021-10-14

答案
∵不等式
1
x
+
4
y
≥m
对两个正实数x,y恒成立,即(
1
x
+
4
y
min≥m,
∵x+y=4,即
x
4
+
y
4
=1

又∵x>0,y>0,
1
x
+
4
y
=(
1
x
+
4
y
)(
x
4
+
y
4
)=
y
4x
+
x
y
+
5
4
2
y
4x
x
y
+
5
4
=1+
5
4
=
9
4

当且仅当
y
4x
=
x
y
,即x=
4
3
,y=
8
3
时取“=”,
∴(
1
x
+
4
y
min=
9
4

∴m≤
9
4

∴实数m的取值范围是(-∞,
9
4
].
故选:D.
将不等式恒成问题转化为求
1
x
+
4
y
的最小值,利用“1”的代换的思想和基本不等式,即可求得
1
x
+
4
y
的最小值,从而求得实数m的取值范围.

基本不等式在最值问题中的应用.

本题考查了基本不等式在最值问题中的应用.在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值,难点在于如何合理正确的构造出定值.涉及了不等式恒成立问题,对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.属于中档题.

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