题目
已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式
+
≥m恒成立的实数m的取值范围是( )
A. [
,+∞)
B. [2,+∞)
C. (-∞,2]
D. (-∞,
]
1 |
x |
4 |
y |
A. [
9 |
4 |
B. [2,+∞)
C. (-∞,2]
D. (-∞,
9 |
4 |
提问时间:2021-10-14
答案
∵不等式
+
≥m对两个正实数x,y恒成立,即(
+
)min≥m,
∵x+y=4,即
+
=1,
又∵x>0,y>0,
∴
+
=(
+
)(
+
)=
+
+
≥2
+
=1+
=
,
当且仅当
=
,即x=
,y=
时取“=”,
∴(
+
)min=
,
∴m≤
,
∴实数m的取值范围是(-∞,
].
故选:D.
1 |
x |
4 |
y |
1 |
x |
4 |
y |
∵x+y=4,即
x |
4 |
y |
4 |
又∵x>0,y>0,
∴
1 |
x |
4 |
y |
1 |
x |
4 |
y |
x |
4 |
y |
4 |
y |
4x |
x |
y |
5 |
4 |
|
5 |
4 |
5 |
4 |
9 |
4 |
当且仅当
y |
4x |
x |
y |
4 |
3 |
8 |
3 |
∴(
1 |
x |
4 |
y |
9 |
4 |
∴m≤
9 |
4 |
∴实数m的取值范围是(-∞,
9 |
4 |
故选:D.
将不等式恒成问题转化为求
+
的最小值,利用“1”的代换的思想和基本不等式,即可求得
+
的最小值,从而求得实数m的取值范围.
1 |
x |
4 |
y |
1 |
x |
4 |
y |
基本不等式在最值问题中的应用.
本题考查了基本不等式在最值问题中的应用.在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值,难点在于如何合理正确的构造出定值.涉及了不等式恒成立问题,对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.属于中档题.
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已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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