题目
数学归纳法不等式,求n最小值,3^n>n^4
3^n>n^4
3的n次方大于n的4次方
求n的最小值,并用数学归纳法验证
3^n>n^4
3的n次方大于n的4次方
求n的最小值,并用数学归纳法验证
提问时间:2021-10-14
答案
n=7
3^n n=8
3^n>n^4
设n=k时,k>=8
有3^k>k^4
则n=k+1时
3^(k+1)=3*3^k>3k^4
3k^4-(k+1)^4
=3k^4-(k²+2k+1)²
=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)
√3k²-k²-2k-1
=(√3-1)[k-1/(√3-1)]²-1/(√3-1)-1
=(√3-1)[k-(√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3-1)[k-(√3+1)]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=(√3+1)/2右边, 是增函数
k=8,√3k²-k²-2k-1=64√3-81>0
所以k>=8,√3k²-k²-2k-1>0
√3k²+k²+2k+1
=(√3+1)[k+1/(√3+1)]²-1/(√3+1)+1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=√3+1右边, 是增函数
k=8,√3k²+k²+2k+1=64√3+81>0
所以k>=8,√3k²+k²+2k+1>0
所以3k^4-(k+1)^4=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)>0
即n=k+1,3^(k+1)>(k+1)^4
综上
n>=8,3^n>n^4
所以n最小=8
3^n
3^n>n^4
设n=k时,k>=8
有3^k>k^4
则n=k+1时
3^(k+1)=3*3^k>3k^4
3k^4-(k+1)^4
=3k^4-(k²+2k+1)²
=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)
√3k²-k²-2k-1
=(√3-1)[k-1/(√3-1)]²-1/(√3-1)-1
=(√3-1)[k-(√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3-1)[k-(√3+1)]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=(√3+1)/2右边, 是增函数
k=8,√3k²-k²-2k-1=64√3-81>0
所以k>=8,√3k²-k²-2k-1>0
√3k²+k²+2k+1
=(√3+1)[k+1/(√3+1)]²-1/(√3+1)+1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=√3+1右边, 是增函数
k=8,√3k²+k²+2k+1=64√3+81>0
所以k>=8,√3k²+k²+2k+1>0
所以3k^4-(k+1)^4=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)>0
即n=k+1,3^(k+1)>(k+1)^4
综上
n>=8,3^n>n^4
所以n最小=8
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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