题目

已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,试判断g(x)与h(x)的奇偶性.
已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,
1.试判断g(x)与h(x)的奇偶性.
2试判断g（x）,h（x）,与f（x）的关系.
3由此得出什么结论,说明理由.

提问时间：2021-10-14

答案

上次才回答了个一模一样的题.
1.首先,g(x)和h(x)的定义域均为R,关于原点对称.
其次,g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)为偶函数.
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)为奇函数.
2.注意到g(x)和h(x)的表达式中间符号不一样,相加可以抵消.
g(x)+h(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=2f(x)/2=f(x)
故g（x）,h（x）,与f（x）的关系为g(x)+h(x)=f(x)
3.(第三问一般都是根据前两问而来,把前两问答案看看就知道第三问怎么回答了）
因为定义在R上的函数f(x)=g(x)+h(x)（2问结论,注意到f(x)是具有一般性的）
且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数（1问结论）,
所以有结论：任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表达为一个偶函数和一个奇函数
的和的形式.（或任何一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到）
我高三的时候做过一道题,要你证明：一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到,诺就是把g(x)和h(x)设成那两个形式了.
这个貌似是一个定理,我不知道是谁的定理了,百度了下也没找的答案,高中时候的题老是让我想起当年,加油吧同学!