题目

已知如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在某一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 3π
B. 4π
C.

3 π

2

D. 12π

提问时间：2021-10-04

答案

取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵PB⊂平面PAC，∴BC⊥PB，∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=12PC．同理可得：Rt△PAC中，OA=12PC，∴OA=OB=O...

取PC的中点O，连结OA、OB．由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=

3

2

，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

本题考点：球的体积和表面积．

考点点评：本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．