题目

已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

提问时间：2021-09-17

答案

（1）∵抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁≠x₂，
∴△=（1-2a）²-4a²＞0．a＜

1

4

．
又∵a≠0，
∴x₁•x₂=a²＞0，
即x₁、x₂必同号．
而x₁+x₂=-（1-2a）=2a-1＜

1

2

-1=-

1

2

＜0，
∴x₁、x₂必同为负数，
∴点A（x₁，0），B（x₂，0）都在原点的左侧．
（2）∵x₁、x₂同为负数，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x₁-x₂=a²-2
∴1-2a=a²-2，
∴a²+2a-3=0．
∴a₁=1，a₂=-3，
∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴a的值为-3．

（1）首先令抛物线的值y=0，可得出一个关于x的方程，那么x₁•x₂=a2＞0，因此x₁、x₂同号，然后可根据抛物线与x轴有两个坐标不同的交点即方程的△＞0以及x₁+x₂的值来得出点A、B均在原点O左侧．
（2）可先根据一元二次方程根与系数的关系用a表示出OA、OB的长，然后用a表示出OC的长，然后根据题中给出的等量关系：OA+OB=OC-2求出a的值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识点．