题目

（不等式选讲选做题）x、y＞0，x+y=1，则(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值为______．

提问时间：2021-06-01

答案

(x+1x)(y+1y)＝xy+xy+yx+1xy=x2y2+x2+y2+1xy=x2y2+(x+y)2−2xy+1xy=xy+2xy−2∵x+y=1∴xy≤(x+y2)2＝14令xy=t则0＜t≤14∴(x+1x)(y+1y)＝t+2t−2∵t+2t−2在(0，1，4]递减当t＝14最小为254故答案为254...

先将式子展开，利用完全平方公式将x²+y²用（x+y）²表示，将x+y用1代替；令xy=t；将函数转化为只含t的函数；利用基本不等式求出t的范围；利用函数的单调性求出最小值．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查换元的数学思想方法：注意新变量的范围、考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．