题目

如图（1）,在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为（4,3）,抛物线y=- 1 2 x2+bx+c经过
如图（1）,在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为（4,3）,抛物线y=-2分之1
x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交于E点,与抛物线y=-2分之1
x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2）,动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时,动点M从点A出发,沿线段AE以每秒2分之根号13
个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值?如果有,求出t的值；如果没有,请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形,请直接写出此时t的值．

提问时间：2021-05-27

答案

（1）∵矩形ABCO,B点坐标为（4,3）
∴C点坐标为（0,3）
∵抛物线y=-1／2x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,
∴c=3 -8+4b+c=3
解得：c=3 b=2
∴该抛物线解析式y=-1／2x2+2x+3,
设直线AD的解析式为y=k1x+b1
∵A（4,0）、D（2,3）,
∴4k1+b1=0 2k1+b1=3
∴k1=-3／2 b1=6
∴y=-3／2x+6
联立y=-3／2x+6 y=-1／2x2+2x+3
∵F点在第四象限,
∴F（6,-3）；
（2）①∵E（0,6）,∴CE=CO,（如图（1））,
连接CF交x轴于H′,过H′作x轴的垂线交BC于P′,当P
运动到P′,当H运动到H′时,EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2
∵C（0,3）、F（6,-3）,
∴b2=3 6k2+b2=-3
解得：k2=-1 b2=3
∴y=-x+3
当y=0时,x=3,
∴H′（3,0）,
∴CP=3,∴t=3；
,
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N,
∵△AMN∽△AEO,
∴AM／AE= AN ／AO= MN／EO
∴（13／2×t）／2／13= AN／4= MN／6
∴AN=t,MN=3／2t
I如图3,当PM=HM时,M在PH的垂直平分线上,
∴MN=1／2PH,
∴MN=3／2t=3／2
∴t=1；
II如图2,当PH=HM时,MH=3,MN=3／2t
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中,MN2+HN2=MH2,
∴(3／2t)2+(4-2t)2=32,
即25t2-64t+28=0,
解得：t1=2（舍去）,t2=14／25
III如图4,当PH=PM时,
∵PM=3,MT=|3-3／2t|,PT=BC-CP-BT=|4-2t|,
∴在Rt△PMT中,MT2+PT2=PM2,
即(3-3／2t)2+(4-2t)2=32,
∴25t2-100t+64=0,
解得：t1=16／5,t2=4／5
综上所述：t=14／25,4／5,1,16／5