题目

曲线y=4x-x²上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（　　）
A. （1，3）
B. （3，3）
C. （6，-12）
D. （2，4）

提问时间：2021-05-25

答案

设点P（x₀，y₀）
∵A（4，0），B（2，4）
∴k_AB=

4−0

2−4

=-2
∵过点P的切线l平行于弦AB
∴k_l=-2
∴根据导数的几何意义得知，曲线在点P的导数y′︳x＝x0=4-2x︳x＝x0=4-2x₀=-2，即x₀=3
∵点P（x₀，y₀）在曲线y=4x-x²上
∴y₀=4x₀-x₀²=3
∴故选B．

首先求出弦AB的斜率，再利用导数的几何意义求出P点坐标．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：考核导数的几何意义及两条直线平行斜率的关系．