题目

已知函数f(x)=x^(-1/3)+ln(1-x)/(1+x)
当x属于(0,a],(其中a属于(0,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由

提问时间：2021-05-23

答案

在(0,1)上,对f(x)求导,f'(x)
=-(1/(3 x^(4/3))) - 1/((1 - x) (1 + x)) - ln(1 - x)/(1 + x)^2
<-(1/(3 x^(4/3))) - 1/((1 - x) (1 + x)) +1/((1 - x)(1+ x)^2),这是因为- ln(1 - x)=ln(1/(1 - x))<1/(1-x).
<-(1/(3 x^(4/3))) ,这是因为1+x>1,- 1/((1 - x) (1 + x)) +1/((1 - x)(1+ x)^2)<0.
<0
所以在(0,1)上,f(x)单调递减.
当x属于(0,a],（其中a属于(0,1),且a为常数）时,最小值为f(a).