题目

设实数x，y满足x²-2x|y|+y²-6x-4|y|+27=0，则y的取值范围是______．

提问时间：2021-05-09

答案

当y≥0，方程变为：x²-2（y+3）x+y²-4y+27=0，
∵△≥0，△=4（y+3）²-4（y²-4y+27）=8（5y-9）≥0，
∴y≥

9

5

．
当y＜0，方程变为：x²+2（y-3）x+y²+4y+27=0，
∵△≥0，即△=4（y-3）²-4（y²+4y+27）=8（-5y-9）≥0，
∴y≤-

9

5

．
所以y的取值范围是y≥

9

5

或y≤-

9

5

．
故答案为：y≥

9

5

或y≤-

9

5

．

分两种情况讨论：当y≥0，方程变为：x²-2（y+3）x+y²-4y+27=0，则有△≥0，即△=4（y+3）²-4（y²-4y+27）=8（5y-9）≥0，即可得到y的取值范围；当y＜0，方程变为：x²+2（y-3）x+y²+4y+27=0，则有△≥0，即△=4（y-3）²-4（y²+4y+27）=8（-5y-9）≥0，即可得到y的取值范围；最后y的取值范围有两个．

本题考点：根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了绝对值的含义和分类讨论思想的运用．