题目

设随机变量X,Y相互独立均服从N(0,1/2)令Z=X+Y,求（1）Z的密度函数（2）E(|Z|) (3)COV(X,Z),X,Z是否相关独

提问时间：2021-05-07

答案

(1)E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+0=0
D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1/2+1/2=1
故Z服从N(0,1)
(2)E(|Z|)=∫(-∞,+∞)|Z|*1/√(2π)*e^(-z^2/2)dz
=2/√(2π)*∫(0,+∞)Z*e^(-z^2/2)dz
=-√(2/π)*∫(0,+∞)e^(-z^2/2)d(-z^2/2)
=√(2/π)
(3)COV(X,Z)=COV(X,X+Y)=COV(X,X)+COV(X,Y)
=D(X)+E[(X-EX)(Y-EY)]=1/2+E(X-EX)*E(Y-EY)=1/2
PXY=COV(X,Z)/[√D(X)*√D(Z)]=1/2÷[√(1/2)*1]=√(1/2)
X与Z相关,不独立