题目

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（Ⅰ）利用定义证明函数f（x）在R上是增函数；  
（Ⅱ）求f（x）在[-2，1]上的值域．

提问时间：2021-05-07

答案

（Ⅰ）设x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
由条件当x＞0时，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0．
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）为增函数，
（Ⅱ）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）．
又令x=y=0得f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2]．

（Ⅰ）直接利用定义证明函数f（x）在R上是增函数即可；  
（Ⅱ）利用赋值法，求出f（0）=0，判断函数是奇函数，然后求解f（x）在[-2，1]上的值域．

本题考点：抽象函数及其应用；函数的概念及其构成要素；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题考查函数的单调性的应用，抽象函数的应用，考查基本知识的应用．