题目

1.设等差数列的首项即公差均为非负整数,项数不少于3项,各项和为97的平方.那么这样的数列有几项?为什么?
2.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4.n,n,n的前2004项的和为多少?为什么?
第一个问题说错了，应该是“这样的数列有几个”，不是几项。

提问时间：2021-05-05

答案

1.由于等差数列前n项和Sn=n*a1+[n*(n-1)/2]*d
=n*[a1+(n-1)*d/2]
所以n*[a1+(n-1)*d/2]=97*97
而97是素数
所以n=97
于是a1+96*d/2=97
又a1,d都是非负整数
所以a1=1,d=2
综上,此数列有97项
2.由于数列数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4.n,n,n共有n(n+1)/2项且当n=63时,n(n+1)/2=2016
所以此数列的前2004项为数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4.62,...,62,63,...,63,其中63共51个
因此,此数列的前2004项和为
(1*1+2*2+...+62*62)+51*63
=62*(62+1)*(2*62+1)/6+51*63
=81375+3213
=84588
注：(1*1+2*2+...+n*n)=n*(n+1)*(2n+1)/6