题目

已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值的概率（　　）
A.

1

4

B.

1

2

C. 提问时间：2021-05-05

答案

∵函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值
∴y′=x²-2ax+b，存在零点，
即x²-2ax+b=0有实数解，其充要条件是△=4a²-4b≥0．
即 a²≥b．
如图所示，区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积（图中正方形所示）为4
2∫₀¹（1-x²）dx=2×（x-

1

3

x2）|₀¹=

4

3

，
而区域a²≥b，
在条件-1≤a≤1，-1≤b≤1下的面积（图中阴影所示）为：
2+2∫₀¹x²dx=2+2×（

1

3

x2）|₀¹=2+

2

3

=

8

3

．
所求概率为

8 3

4

＝

2

3

．
故选C．

本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值对应的可行域面积的大小和实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1对应的图形面积的大小．

本题考点：几何概型；利用导数研究函数的极值．

考点点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．