题目

求以椭圆x²+4y²=16内一点A（1，-1）为中点的弦所在直线的方程．

提问时间：2021-05-05

答案

设以A（1，-1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵A（1，-1）为EF中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，
把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆x²+4y²=16，
得

x12+4y12＝16 x22+4y22＝16

，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1−y2

x1−x2

=

1

4

，
∴以A（1，-1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-（-1）=

1

4

（x-1），
整理，得x-4y-5=0．

设以A（1，-1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，-1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，利用点差法能够求出以A（1，-1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查以A（1，-1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．