题目

关于抛物线的
设P是直线y=x-2上的动点,过P做抛物线y-1/2x²的切线,切点分别为A B,
证明：子线AB过定点
求三角形PAB面积最小值

提问时间：2021-05-02

答案

设P坐标为（x0,x0-2),过P的直线方程为 y-(x0-2)=k(x-x0),代入抛物线方程得
k(x-x0)+(x0-2)=1/2*x^2,
即 x^2-2kx+2kx0-2x0+4=0.
由于PA、PB与抛物线相切,所以 Δ=4k^2-4(2kx0-2x0+4)=0,
化简得 k^2-2kx0+2x0-4=0.（1）
设A、B坐标分别为（x1,1/2*x1^2),（x2,1/2*x2^2),
由于y '=x,所以,PA、PB的斜率分别为 k1=x1和k2=x2,
所以,由（1）得 x1+x2=2x0,x1*x2=2x0-4.（2）
因此 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=4x0^2-2(2x0-4)=4x0^2-4x0+8,
由于kAB=(1/2*x2^2-1/2*x1^2)/(x2-x1)=(x1+x2)/2=x0,
AB中点为（（x1+x2)/2,（1/2*x1^2+1/2*x2^2)/2),即（x0,x0^2-x0+2),
所以,AB方程为 y-(x0^2-x0+2)=x0(x-x0),
化简得 x0*x-y-x0+2=0.
可以看出,此直线恒过定点（1,2）.