题目

已知：b>=c>=a,a平方+b平方+c平方=9,求证：abc+1>3a

提问时间：2021-04-30

答案

设正实数a、b、c,满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9.证明:abc+1>3a
证明：因为2bc=b^2+c^2-(c-b)^2,所以在a固定的时候(c-b)^2越大则bc越小,因为a≤b≤c,所以当b=a,c²=9-2a²时bc有最小值,即bc≥a√9-2a²,于是abc+1≥1+a²√9-2a²,若a√9-2a²≥3,则abc+1≥1+a²√9-2a²≥1+3a＞3a,命题显然成立,若a√9-2a²＜3,即a²(9-2a²)＜9,则a²＞3或a²＜3/2,但9=a²+b²+c²≥3a²,即有a²≤3,于是只能取a²＜3/2,于是√9-2a²＞√6,于是abc+1≥1+a²√9-2a²＞1+√6a²≥2*[(6)^1/4]a＞3a(因为96＞81),即a√9-2a²＜3时命题也成立,于是命题成立,证毕.