题目

求y/x的双重积分,区域D是x^2+y^2=0

提问时间：2021-04-28

答案

x^2+y^2≤2x,可以变成r^2sinθ^2+r^2cosθ^2≤2rcosθ,即r≤2cosθ.然后因为x^2+y^2≤2x是一个圆形区域,而y≥0,所以你得到的是一个半圆形区域,即θ∈[0,π/2].所以∫∫y/xdxdy=∫(从0到π/2)∫(从0到2cosθ)tanθrdrdθ=∫(从0到π/2)[tanθ×(r^2)/2](从r=2cosθ到r=0)dθ=∫(从0到π/2)2tanθcosθ^2dθ=∫(从0到π/2)sin2θdθ=[-cos2θ/2](从0到π/2)=-cosπ+cos0=1+1=2