题目

（理）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使得PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-04-27

答案

建立空间直角坐标系：A-xyz
则：根据题中的条件得 B（3，0，0）C（3，a，0）（a＞0）D（0，a，0）P（0，0，Z）（Z＞0）
E（3，y，0）
则：

PE

=（3，y，-z） 

DE

=（3，y-a，0）
∵PE⊥DE
∴

PE

•

DE

＝0
∴y²-ay+9=0
∵E有两点
∴方程有两个不同的正根

a2−36＞0 a＞0

∴a＞6
故答案为：a＞6

首先考虑建立空间直角坐标系，使用向量垂直的充要条件建立等量关系，针对一元二次不等式存在两正根进一步找到存在两正根的条件即可．

本题考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题考查的知识点：空间直角坐标系，向量垂直的充要条件，向量的数量积，找一元二次不等式存在两正根的条件，属于基础题型．