题目

如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：△CMG≌△NBP；
（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

提问时间：2021-04-25

答案

证明：（1）∵正方形ABCD，∴∠C=∠CBA=90°，∠ABD=45°，同理∠BEG=45°，∵CD∥BE，∴∠CMG=∠BEG=45°，∵MN⊥AB，垂足为N，∴∠MNB=90°，∴四边形BCMN是矩形，∴CM=NB，又∵∠C=∠PNB=90°，∠CMG=∠NBP=45°...

（1）根据四边形ABCD是正方形，可得∠ABD=45°，同理∠BEG=45°再求证四边形BCMN是矩形，然后即可判定△CMG≌△NBP，
（2）根据正方形BEFG，从而可得CM=1-x，然后得y=

1

2

（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四边形BGMP是平行四边形，要使四边形BGMP是菱形则BG=MG，可得x＝

2

(1−x)，解得x即可．

本题考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

考点点评：此题主要考查正方形的性质，根据实际问题咧二次函数关系式，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，而且有一定的拔高难度，属于难题，要求学生做题时一定要仔细，认真．