题目

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

提问时间：2021-04-24

答案

（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）证明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x²-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin²α-（1+c）sinα+c=（sinα-

1+c

2

）²+c-（

1+c

2

）²，
∵

1+c

2

≥2
∴当sinα=-1时，f（sinα）的最大值为1-b+c．
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．

本题考查的是不等式的综合应用问题．在解答时：
（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f（2+cosβ）≤0，即可获得问题的解答；
（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答．

本题考点：不等式的综合；二次函数的性质；三角函数的最值．

考点点评：本题考查的是不等式的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了夹逼的技巧、恒成立的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会与反思．