题目

证明：函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．

提问时间：2021-04-24

答案

证明：∵f（x）的定义域为R，
∴它的定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）²+1=f（x）
所以f（x）是偶函数．
任取x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁与x₂∈[0，+∞）则f（x₁）-f（x₂）=x₁²+1-（x₂²+1）=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．

结合已知条件，检验函数的定义域关于原点对称，检验f（-x）=（-x）²+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数，利用函数的单调性的定义，只要证明当任意x₁＜x₂∈[0，+∞）都有f（x₁）＜f（x₂）证明函数的单调性

本题考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数在区间上的单调性的证明，主要还是定义的基本运用，熟练掌握基础知识、基本方法是解决本题的关键．