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> 已知函数f(x)=12x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m≥32 B.m>32 C.m≤32 D.m<32...
题目
已知函数f(x)=
1
2
x
4
-2x
3
+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. m≥
3
2
B. m>
3
2
C. m≤
提问时间:2021-04-23
答案
因为函数f(x)=
1
2
x
4
-2x
3
+3m,所以f′(x)=2x
3
-6x
2
.
令f′(x)=0得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-
27
2
.
不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-
27
2
≥-9,解得m≥
3
2
.
故答案选A.
要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立,思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点,得到函数f(x)的最小值,使最小值大于等于-9即可求出m的取值范围.
本题考点:
函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评:
考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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