题目

若四个数成等差数列,若顺次加上1,1,3,9后成等比数列,则成等比数列的4个数之和是是多少
求详解

提问时间：2021-04-21

答案

设成等比数列的4个数依次为a,aq,aq²,aq³ (a≠0,q≠0),则原4个数分别为a-1,aq-1,aq²-3,aq³-9
原4个数成等差数列,则
2(aq-1)=(a-1)+(aq²-3)
2(aq²-3)=(aq-1)+(aq³-9)
整理,得
2aq=a+aq²-2 (1)
2aq²=aq+aq³-4 (2)
(1)×q-(2)
-2q+4=0 2q=4
q=2,代入(1)
4a=a+4a-2
a-2=0 a=2
aq=2×2=4 aq²=2×2²=8 aq³=2×2³=16
这4个数分别为2,4,8,16
2+4+8+16=30
既然已经知道了首项和公比,也可以不求4个数,直接求和：
4个数之和=2×(2⁴-1)/(2-1)=30