题目

设函数f(x)=(a/2)x的平方-1+cosx(a大于0) （1）当a=1时,证明函数y=f(x)在（0,正无穷）上是增函数
（2）若y=f(x)在（0,正无穷）上是单调增函数,求正数a的范围

提问时间：2021-04-21

答案

（1）f(x)=(a/2)x²-1+cosx(a>0)
求导f'(x)=ax-sinx
当a=1时f'(x)=x-sinx
接下来证明在（0,+∞）上f'(x)>0一定成立
令g(x)=x-sinx
则g'(x)=1-cosx≥0恒成立(根据cosx≤1)
故g(x)在（0,+∞）是增函数
所以g(x)>g(0)=0 即x-sinx>0
所以在（0,+∞）上f'(x)>0一定成立
所以y=f(x)在（0,+∞）上是增函数
（2）因y=f(x)在（0,+∞）上是增函数
故f'(x)=ax-sinx≥0在（0,+∞）上恒成立
即ax≥sinx在（0,+∞）上恒成立
构造两个函数y=ax和y=sinx
题意就变成y=ax的图象在（0,+∞）上恒在y=sinx的上方
当y=ax和y=sinx相切时,y=ax就是y=sinx在x=0处的切线,斜率为1,即a=1
故以满足条件的a的范围是a≥1