题目

已知

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，则a²+b²与（x+y）²的大小关系为 ______．

提问时间：2021-04-21

答案

由已知

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)和柯西不等式的二维形式．
得a2+b2＝(a2+b2)(

x2

a2

+

y2

b2

)≥(a•

x

a

+b•

y

b

)2＝(x+y)2．
故答案为a²+b²≥（x+y）²．

首先分析题目由已知

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，判断a²+b²与（x+y）²的大小关系，可得到a2+b2＝(a2+b2)(

x2

a2

+

y2

b2

)，然后应用柯西不等式即可得到答案．

本题考点：二维形式的柯西不等式．

考点点评：本小题主要考查柯西不等式的应用，拼凑成柯西不等式的结构形式是解题的关键．