题目
老师,我的线代基础比较差,是关于您对一个题目给出的解答的.
题:设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量
易知 y^Tx = x^Ty = 2.
令B=xy^T,则
B^2 = (xy^T)(xy^T) = x(y^Tx)y^T = 2xy^T = 2B.
所以 B 的特征值只能是 0,2.
由于 r(B)=1,(疑惑1:上面只是知道了B的两个特征向量并且B的行列式=0,怎么知道B的秩是1的?)
故 BX=0 的基础解系含n-1个解向量
B =
x1y1 x1y2 ...x1yn
x2y1 x2y2 ...x2yn
..
xny1 xny2 ...xnyn
-->
y1 y2 ...yn
0 0 ...0
......
0 0 ...0
由已知x^Ty=2,x≠0,y≠0
不妨设y1≠0,x1≠0.
则BX=0的基础解系为
α1 = (y2,-y1,0,...,0)^T
α2 = (y3,0,-y1,...,0)^T
....
αn-1 = (yn,0,0,...,-y1)^T
疑惑2:
y1 y2 ...yn 1 y2/yi ...yn/yi α1 = (-yn/yi,1,0,...,0)^T
0 0 ...0 0 0 0 α2 = (0,0,1,...,0)^T.......
αn-1 = (0,0,0,...,1)^T
0 0 ...0,继续化 0 0 ...0,这个解可以用吗?
因为 Bx = (xy^T)x = x(y^Tx) = 2x,x≠0
所以 αn = x 是B的属于特征值2的特征向量.
由定理知,1+0=1,1+2=3 是 A=E+B 的特征值
且特征向量分别为
k1α1+...+k(n-1)α(n-1),knαn
其中 k1,...,k(n-1)不全为零,kn≠0.
题:设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量
易知 y^Tx = x^Ty = 2.
令B=xy^T,则
B^2 = (xy^T)(xy^T) = x(y^Tx)y^T = 2xy^T = 2B.
所以 B 的特征值只能是 0,2.
由于 r(B)=1,(疑惑1:上面只是知道了B的两个特征向量并且B的行列式=0,怎么知道B的秩是1的?)
故 BX=0 的基础解系含n-1个解向量
B =
x1y1 x1y2 ...x1yn
x2y1 x2y2 ...x2yn
..
xny1 xny2 ...xnyn
-->
y1 y2 ...yn
0 0 ...0
......
0 0 ...0
由已知x^Ty=2,x≠0,y≠0
不妨设y1≠0,x1≠0.
则BX=0的基础解系为
α1 = (y2,-y1,0,...,0)^T
α2 = (y3,0,-y1,...,0)^T
....
αn-1 = (yn,0,0,...,-y1)^T
疑惑2:
y1 y2 ...yn 1 y2/yi ...yn/yi α1 = (-yn/yi,1,0,...,0)^T
0 0 ...0 0 0 0 α2 = (0,0,1,...,0)^T.......
αn-1 = (0,0,0,...,1)^T
0 0 ...0,继续化 0 0 ...0,这个解可以用吗?
因为 Bx = (xy^T)x = x(y^Tx) = 2x,x≠0
所以 αn = x 是B的属于特征值2的特征向量.
由定理知,1+0=1,1+2=3 是 A=E+B 的特征值
且特征向量分别为
k1α1+...+k(n-1)α(n-1),knαn
其中 k1,...,k(n-1)不全为零,kn≠0.
提问时间:2021-04-19
答案
第一个疑惑:我当初考研期间也出现过,告诉你,B^2=2B说明B为N阶矩阵,则根为一个2和(N-1)个0,因为0不影响B^2=2B的,故秩绝对为1第二个疑惑:我觉得是你打错了,你其实想写为a1=(-y2/y1 , 1 , 0.)^T ...
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1上下游引物混合在一起了如何分开?给我的上下游引物混合在一起了,可是要测序就得分开,怎么分开
- 2由于心情特别激动,控制不住的眼泪一下子从眼眶里涌了出来 的成语是什么
- 3根据首字母的提示填空,使句意完整.
- 4将20.0克含碳的铁合金放在氧气流里充分灼烧,得到0.37克二氧化碳,此合金中的质量分数是多少?
- 5y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_.
- 6两种金属形成合金的条件与两金属的熔沸点有什么关系?
- 7Reading extensively can satisfy( )desire for( )knowledge
- 8G.O.P.Captures House,but Not Senate
- 9大自然是一位神奇的老师,我对此产生了兴趣.我了解到,现在,飞机设计师注意研究苍蝇、蚊子、蜜蜂等飞行
- 10many the are in birds how there连词成句