题目

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

提问时间：2021-04-18

答案

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a−

1

2−x+1

＝−a+

1

2x+1

，
解得：a＝

1

2

．
∴f(x)＝

1

2

−

1

2x+1

．
（2）由（1）知f(x)＝

1

2

−

1

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，∴−1＜−

1

2x+1

＜0，∴−

1

2

＜f(x)＜

1

2

所以f（x）的值域为(−

1

2

，

1

2

)．

（1）由于f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），即可得出a．
（2）利用指数函数、反比例函数的单调性即可得出．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评：熟练掌握函数的奇偶性和基本函数的单调性是解题的关键．