题目

已知函数f（x）=x²-cosx，x∈[−

π

2

，

π

2

]，则满足f（x₀）＞f（

π

3

）的x₀的取值范围为______．

提问时间：2021-03-27

答案

注意到函数f(x)＝x2−cosx，x∈[−π2，π2]是偶函数故只需考虑[0，π2]区间上的情形． 当x∈[0，π2]时，f′（x）=2x+sinx≥0，∴函数在[0，π2]单调递增，所以f(x0)＞f(π3)在[0，π2]上的解集为(π3，π2]，...

先充分考虑函数f（x）=x²-cosx，x∈[−

π

2

，

π

2

]的性质，为偶函数，其图象关于y轴对称，故考虑函数[0，

π

2

]区间上的情形，利用导数可得函数在[0，

π

2

]单调递增，再结合f（x₀）＞f（

π

3

）和对称性即可得x₀的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：这是一个常见考型，应引起足够重视．填写答案时，应注意区间的闭、开问题，注意规范答题，否则将可能因为表述问题而失去已到手的分．