题目

已知椭圆的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合,椭圆的离心率为2√5/5,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆与A,B两点
（1）求椭圆的标准方程
（2）设点M（1,0）,且（向量MA+向量MB）⊥向量AB,求直线l的方程
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提问时间：2021-04-18

答案

(一 ）由题设,可设椭圆的方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1.(a＞b＞0).易知,抛物线y²=8x的焦点F(2,0).故可知c=2,又e=c/a=2/√5,b²=a²-c².===>a=√5,b=1.故椭圆方程为(x²/5)+y²=1.（二）由题意可设直线L:y=k(x-2).代入椭圆方程,整理得：(1+5k²)x²-20k²x+20k²-5=0.可设点A(x1,k(x1-2)),B(x2,k(x2-2)).则由韦达定理知,x1+x2=20k²/(1+5k²).向量MA+MB=(x1-1,k(x1-2))+(x2-1,k(x2-2))=(x1+x2-2,k(x1+x2-4)).向量AB=(x2-x1,k(x2-x1)).由题设有(x2-x1)(x2+x1-2)+k²[(x2-x1)(x2+x1-4)]=0.因直线L与两轴不垂直,故x1≠x2.故有x2+x1-2+k²(x2+x1-4)=0.===>(x1+x2)(1+k²)=2+4k²===>20k²(1+k²)/(1+5k²)=2+4k².===>k²=1/3.==>k=±√3/3.故直线L:y=±(√3/3)(x-2).即x±(√3)y-2=0.